Matematika - Barisan dan Deret Bilangan

Sumber : http://e-dukasi.net
Kompetensi

Kompetensi Dasar :


1. Menentukan pola barisan bilangan sederhana
2. Menentukan suku ke-n barisan aritmatika dan barisan geometri
3. Menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika dan deret geometri
4. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret

Materi
Barisan Bilangan Sederhana
Barisan bilangan dibentuk oleh bilangan-bilangan yang disusun menurut aturan tertentu. Barisan bilangan ini dapat kita teruskan suku-sukunya apabila aturan untuk memperoleh suku berikutnya sudah ditentukan.
Perhatikan barisan bilangan berikut ini :
1, 2, 4, 7, 11, ...
Artinya : Suku pertama ditulis   U1
 
= 1
              Suku ke-dua ditulis     U2
 
= 2
              Suku ke-tiga ditulis     U3
 
= 4
              Suku ke-empat ditulis  U4
 
= 7
              Dan seterusnya ...
              Suku ke-n ditulis Un
Suku berikutnya dari barisan tersebut dapat diteruskan dengan aturan ”menambahkan bilangan asli berurutan mulai dari suku pertama”
 
Perhatikan barisan bilangan berikut :
 
 
 
”Suku berikutnya diperoleh dengan menambahkan bilangan asli berurutan mulai dari suku pertama”.
Dengan cara di atas maka untuk menentukan suku ke-n dapat dicari dengan meneruskan pola yang ada. Namun demikian, untuk n yang besar misalnya n = 50, kita akan mengalami kesulitan, untuk itu akan kita pelajari bagaimana menentukan suku ke-n dengan menggunakan rumus Un
 
Contoh-contoh barisan bilangan khusus antara lain :
  • Barisan Bilangan Asli : 1, 2, 3, 4, ... 
    Rumus suku ke-n adalah
     Un = n
    Suku ke-10 adalah U10
     = 10
  • Barisan Bilangan Genap : 2, 4, 6, 8, ...
    Rumus suku ke-n adalah
     Un = 2n

    Suku ke-20 adalah U20
     = 2 x 20 = 40
  • Barisan Bilangan Ganjil : 1, 3, 5, 7, ... 
    Rumus suku ke-n adalah
     Un = 2n – 1
    Suku ke-15 adalah U15
     = 2 x 15 – 1 = 29
  • Barisan Bilangan Kuadrat / persegi : 1, 4, 9, 16, ... 
    Rumus suku ke-n adalah
     Un = n2
    Suku ke-12 adalah U12
     = 122 = 144
Barisan bilangan juga dapat diperoleh dari pengembangan pola yang teratur, contoh :
  • Barisan Bilangan Persegi Panjang : 2, 6, 12, 20, ...

    Pola
      , ...
Rumus suku ke-n adalah Un = n(n+1)

Suku ke-8 adalah U8
 = 8 (8+1) = 8 x 9 = 72 
  • Barisan Bilangan Segitiga : 1, 3, 6, 10, ...

    Pola
      , ...
Rumus suku ke-n adalah Un = ½ n(n+1)

Suku ke-10 adalah U10
 = ½ x 10 (10+1) = 5 x 11 = 55
  • Barisan Bilangan Pada Segitiga Pascal
 
Baris ke-n diperoleh dengan menjumlahkan dua suku berurutan pada baris sebelumnya
Jumlah bilangan pada baris ke-1 = 1                       = 1 = 20
 = 21-1     

Jumlah bilangan pada baris ke-2 = 1 + 1           = 2 = 21
 = 22-1
Jumlah bilangan pada baris ke-3 = 1 + 2 + 1           == 22  = 23-1
 

Jumlah bilangan pada baris ke-4 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23
 = 24-1
Rumus jumlah bilangan pada baris ke-n = 2n-1
 
Barisan Aritmetika dan Geometri
Barisan Aritmetika
 
Adalah barisan bilangan yang suku berikutnya didapat dari penambahan suku sebelumnya dengan bilangan yang tetap (tertentu), bilangan yang tetap tersebut dinamakan beda (b)
  • Barisan bilangan : 2, 5, 8, 11, ...
    Suku awal / suku pertama atau a = 2
    Beda atau b = 5 – 2 = 8 – 5 = 11 – 8 = 3
    Barisan tersebut dinamakan barisan aritmetika naik
  • Barisan bilangan : 20, 18, 16, 14, ... 
    Suku awal / suku pertama atau a = 20
    Beda atau b = 18 – 20 = 16 – 18 = 14 – 16 = -2
    Barisan tersebut dinamakan barisan aritmetika turun
 
Rumus Suku ke-n (Un) dari Barisan Aritmetika
 
U1 = a         = a + (1-1)b 
U2 = a + b   = a + (2-1)b
U3 = a + 2b = a + (3-1)b
U4 = a + 3b = a + (4-1)b

Un = a + (n-1) b
 
 
Jadi rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah :
 
 
 
dengan Un = Suku ke-n
             a = suku awal / suku pertama 
             b = beda 
 
 
 
Contoh :

Tentukan suku ke-15 dan suku ke-20 dari barisan : 1 , 4 , 7 , 10 , ...

Jawab :
a = 1  
b = 4 – 1
   = 7 – 4
   = 3
Un = a + (n-1) b
U15 = 1 + (15 – 1) x 3
      = 1 + 14 x 3
      = 1 + 42
      = 43
U20 = 1 + (20 – 1) x 3
     = 1 + 19 x 3
     = 1 + 57
     = 58
Jadi suku ke-15 = 43 dan suku ke-20 = 58
 
 
 
Barisan Geometri

Barisan geometri adalah Barisan bilangan yang suku-suku berikutnya diperoleh dari hasil kali suku sebelumnya dengan bilangan tetap yang tidak sama dengan nol.
Bilangan tetap tersebut dinamakan pembanding (rasio)
  • Barisan bilangan : 2, 6, 18, 54, ...
    Suku awal / suku pertama atau a = 2
    Rasio atau r = 6 : 2 = 18 : 6 = 54 : 18 = 3
    Barisan tersebut dinamakan barisan geometri naik
  • Barisan bilangan : 20, 10, 5, 2,5 , ... 
    Suku awal / suku pertama atau a = 20
    Rasio atau r = 10 : 20 = 5 : 10 = ½ 
    Barisan tersebut dinamakan barisan geometri turun
Rumus Suku ke-n (Un) dari Barisan Geometri

U1 = a       = a x r1-1 
U2 = a x r  = a x r2-1
U3 = a x r2 = a x r3-1
U4 = a x r3 = a x r4-1

Un = a  x rn-1

Jadi rumus suku ke-n dari barisan geometri adalah :

 

dengan Un = suku ke-n
              a = suku awal / suku pertama
              r = rasio
 
Contoh :
Tentukan suku ke-9 dari barisan : 2 , 4 , 8 , 16 , ...
 
Jawab :
a = 2 ,    r = 4 : 2 = 8 : 4 = 2
Un = a x rn-1
U9 = 2 x 29-1
     = 2 x 28
     = 2 x 256
     = 512 
Jadi suku ke-9 adalah 512
 
Deret Aritmetika dan Geometri
Deret Aritmetika

Apabila barisan bilangan aritmetika dijumlahkan maka akan terbentuk deret Aritmetika
Contoh :
Barisan Aritmetika : 2, 6 , 10 , 14 , ... .
Deret Aritmetika : 2 + 6 + 10 + 14 + ... .
Jumlah n suku pertama deret aritmetika ditulis dengan Sn
Jadi S1 = U1 = 2
       S2 = U1 + U2 = 2 + 6 = 8
       S3 = U1 + U+ U3 = 2 + 6 + 10 = 18
       S4 = U1 + U2 + U3 + U4 = 2 + 6 + 10 + 14 = 32
       .....
       Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un
 
Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika
Sn = U1 +    U2      +     U3     + ... + Un
Sn =  a + (a + b)  + (a + 2b) + ... + Un
Sn = Un + Un - b    + Un – 2b  + ... + a
----------------------------------------------- +
2.Sn = (a + Un) + (a + Un) + ... + (a +Un)
2.Sn = n (a + Un)

 , karena Un = a + (n-1)b, maka Sn = (a + Un)
  atau                                                                    = (a + a + (n-1) b )
 
                                                                           = (2a + (n – 1) b)
dengan Sn = jumlah n suku pertama
             a  = suku awal
             b  = beda      
 
 
Contoh :

Jumlah dari  100 + 95 + 90 + 85 + ... + 5 = ...

Jawaban :

a = 100
b = 95 – 100
   = 90 – 95
   = -5

Un = a + (n-1)b
  5 = 100 + (n-1)(-5)
95 = (n-1)(-5)
19 = (n-1)
  n = 20
 
Sn = (2a + (n – 1) b)
S20 = (2x100 + (20 – 1)(-5))
       =10 (200 - 95)
       =10 (105)
       =1050
   
Jadi jumlah dari 100 + 95 + 90 + 85 + ... + 5 = 1.050
 
 
 
Deret Geometri

Apabila barisan bilangan geometri dijumlahkan maka akan terbentuk deret geometri
Contoh :
Barisan geometri : 2, 6 , 18 , 54 , ... .
Deret geometri : 2 + 6 + 18 + 54 + ... .
Jumlah n suku pertama deret aritmetika ditulis dengan Sn
Jadi S1 = U1 = 2
       S2 = U1 + U2 = 2 + 6 = 8
       S3 = U1 + U2 + U3 = 2 + 6 + 18 = 26
       S4 = U1 + U2 + U3 + U4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80
       ...
       
      
Rumus jumlah n suku pertama deret geometri
        Sn = U1 +    U2     +     U3     + ... + Un

        Sn =  a +   (ar)    +    (ar2)   +  ... + arn-1
   r x Sn =          (ar)     +    (ar2)   + .... + arn-1  + arn 
 -
Sn– r.Sn =  a   +    0       +     0      +       +   0    + arn
(1 – r)Sn = a                                                      – arn
(1 – r)Sn = a (1 – rn)
 
 untuk nilai r < 1, atau , untuk r > 1
 
dengan Sn = jumlah n suku pertama
             a  = suku awal
                                                        
             r  = rasio                                                         
                                                        
 
                                             
Contoh :
   Jumlah dari  400 + 200 + 100 + 50 + 25 + 12,5 = ...
                                                        

Jawaban :
   a = 400
    r = 200 : 400
                                                        
      = 100 : 200
                                                        
      = ½
    n = 6

                                                         
Jadi jumlah dari 500 + 200 + 100 + 50 + 25 + 12,5 = 787,5
Simulasi
Simulasi 1

Simulasi 2

Latihan

Tes

Tim

Tim Pengembang untuk materi "Barisan dan Deret Bilangan "

 

Penulis : Drs. Tri Puji Hartono
Pengkaji Materi : Drs. Bambang Irawan, M.Si
Pengkaji Media : Drs. Hendro Gunarto
   
Pemimpin Tim : Wienroa Irawan
Pemrogram : Hardianto
Pendesain Grafis : Sukisno
   
Pengontrol Kualitas : Nasehadin