Matematika - Sudut

Sumber : http://e-dukasi.net
Kompetensi
  • Siswa dapat mengklasifikasikan sudut pusat, sudut keliling, busur dan juring lingkaran
  • Siswa dapat menyatakan hubungan sudut pusat dan sudut keliling jika menghadap busur yang sama
  • Siswa dapat  menghitung besar sudut keliling jika menghadap diameter atau busur yang sama
  • Siswa dapat menghitung panjang busur, luas juring
  • Siswa dapat  menggunakan hubungan sudut pusat, panjang busur, luas juring dalam pemecahan masalah
Materi
Pengantar

Di sekitar kita banyak di jumpai benda-benda yang memiliki bagian yang berupa lingkaran. Dapatkah kalian menyebutkan di antaranya ? Ya antara lain uang logam, roda, kaleng susu, dan meja. Unsur – unsur sebuah lingkaran adalah :

1. Titik pusat lingkaran
2. Jari-jari lingkaran
3. Garis tengah lingkaran (diameter)
4. Tali busur
5. Busur
6. Juring atau sektor
7. Tembereng
8. Apotema

Definisi sudut pusat, sudut keliling, busur dan juring lingkaran
Definisi sudut pusat :

Sudut pusat adalah daerah sudut yang dibatasi oleh dua jari-jari lingkaran yang titik sudutnya merupakan titik pusat lingkaran.
Pada gambar lingkaran dengan pusat titik O, terdapat AOC yang dibatasi oleh dua jari-jari yaitu OA dan OC.
AOC disebut sudut pusat.

 

Definisi sudut keliling :

Sudut keliling adalah daerah sudut yang dibatasi oleh dua talibusur yang berpotongan di satu titik pada lingkaran dan titik sudutnya teletak pada keliling lingkaran.

 


Pada gambar lingkaran berpusat di titik O, terdapat dua tali busur AB dan BC yang berpotongan dan membentuk ABC.
ABC merupakan sudut keliling dan menghadap busur AC
Definisi busur lingkaran :

Busur lingkaran adalah garis lengkung bagian dari keliling lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.

 


Pada gambar ingkaran berpusat di titik O, terdapat titik A dan C di keliling lingkaran. Garis lengkung yang menghubungkan titik A dan C disebut busur lingkaran

 

Definisi juring lingkaran :

Juring lingkaran ( sektor ) merupakan daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan busur lingkaran
Pada gambar daerah yang diarsir merupakan juring lingkaran.
Juring AOB dibatasi oleh dua jari-jari OA dan OB, serta busur AB

 

Pada sebuah lingkaran seperti tampak pada gambar, tedapat dua jenis busur dan dua jenis juring.
Busur AB yang panjangnya kurang dari setengah keliling lingkaran disebut  busur kecil dan juring yang

 

luasnya kurang dari setengah luas lingkaran disebut juring kecil.
Sebaliknya busur AB yang panjangnya lebih dari setengah keliling lingkaran disebut busur besar dan juring yang luasnya lebih dari setengah luas lingkaran  disebut juring besar.

Hubungan sudut pusat dan sudut keliling
Pada gambar, AOB adalah sudut pusat dan ACB adalah sudut keliling. AOB dan ACB menghadap busur yang sama yaitu busur AB.
Bagaimanakah hubungan sudut AOB dan ACB ?
Untuk mengetahui hubungan AOB dan ACB, buat garis bantu CD yang melalui titik O.

Pada gambar terdapat dua segitiga sama kaki, yaitu
Δ AOC dan Δ BOC. Jika ACO = xo dan BCO = yo,
maka CAO = xo dan CBO =  yo .
DOA = CAO + ACO  ( sudut luar Δ AOC )
           = xo   + xo 
           = 2xo          
DOB = CBO + BCO  ( sudut luar Δ BOC )
           =  yo   + yo 
           =  2 yo      
            
AOB = DOA + DOB
           = 2xo   + yo 
 AOB = 2  (xo   +yo  ), maka :

“Besar sudut pusat adalah dua kali besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama, atau besar sudut keliling adalah setengah besar sudut pusat yang menghadap busur yang sama”


Contoh :
Pada gambar, jika AOB = 110o, maka berapakah besar ACB ?

Jawab :

Sifat sudut keliling

A. Sudut Keliling Menghadap Diameter Lingkaran

Pada gambar garis BC merupakan diameter lingkaran dan
BOC = 180o, maka :



Besar sudut-sudut keliling yang menghadap diameter   lingkaran adalah 90o 

Contoh :

Pada gambar jika BCA =  28o, berapakah besar CBA ?
Jawab :

   CBA =  180o - BAC – BCA
            =   180o - 90o – 28o 
            =   90o   - 28o                                                                                                          
            =   62o    

B. Sudut – Sudut Keliling yang Menghadap Busur yang Sama

ABE,  ACE dan  ADE adalah sudut-sudut keliling yang mengadap busur yang sama, yaitu busur AE. AOE adalah sudut pusat yang juga menghadap busur AE,
maka :

Jadi ABE = ACE = ADE
Besar sudut-sudut keliling lingkaran yang menghadap busur yang sama adalah sama besar.

Contoh :


  
Pada gambar, jika ADB = 35o dan
   CBD = 40o , maka berapakah besar ACB dan CAD ?


Jawab :
   ACB = ADB = 35o  
   CAD = CBD = 40o

Panjang Busur

Menghitung Panjang Busur Lingkaran

Busur adalah garis lengkung yang merupakan bagian dari keliling lingkaran, maka untuk menentukan panjang busur lingkaran digunakan perbandingan dengan keliling lingkarannya. 

Perhatikan  gambar.  Jika sudut  pusat  busur  AC  adalah  AOC, dan sudut pusat keliling lingkaran adalah 360o , maka akan terdapat perbandingan senilai, yaitu :

contoh :

Luas Juring

Menghitung Luas Juring Lingkaran

Juring adalah daerah yang merupakan bagian dari daerah (luas) lingkaran, maka untuk menentukan luas juring lingkaran digunakan perbandingan dengan luas lingkarannya.
Perhatikan  gambar.  Jika sudut  pusat  juring AOB  adalah 
AOB, dan sudut pusat daerah lingkaran adalah 360o, maka akan terdapat perbandingan senilai, yaitu :


Hubungan sudut pusat, panjang busur dan luas juring pada suatu lingkaran

Pada sebuah lingkaran berjari-jari r terdapat dua juring dengan sudut pusat dan panjang busur yang berbeda, yaitu busur AB dan juring AOB dengan sudut pusat AOB = xo, dan busur CD dan juring COD dengan sudut pusat COD = yo.
Perbandingan panjang busur AB dan CD adalah :

Perbandingan 1 = perbandingan 2

Contoh :

Pada gambar jika AOB = 15oCOD = 45o  dan panjang busur AB = 6 cm, maka berapakah panjang busur CD ?      

Simulasi
Menentukan hubungan sudut pusat dan sudut keliling

Menentukan hubungan perbandingan sudut pusat, panjang busur dan luas juring

Latihan

Tes

Tim
Tim Pengembang "sudut"

Penulis

:

Muhammad Ermawan

Pengkaji Materi

:

Drs.Bambang Irawan, Msi

Pengkaji Media

:

Agus Nazarudin

Pemimpin Tim

:

M.Adhi Bagus N

Pemrogram

:

M.Adhi Bagus N

Design Grafis

:

Syarif Hidayatullah




Quality Control

:

Wien Roa Irawan